Mar 022018

 

El método de Karnaugh nos va a permitir simplificar un sencillo circuito de puertas lógicas de 3 variables. Todas las puertas tienen numerados sus pines para poder probar en el protoboard su funcionamiento.

f (A,B,C) = ((ABC) + (ABC)) + ((ABC) + (ABC))

Simplificación de 3 variables

Simplificación de 3 variables

Cuando agrupamos los “1” hay que tener en cuenta:

  • Debemos utilizar todos los unos del mapa.
  • Hay que crear el menor número de grupos incluyendo todos los unos.
  • Los unos pueden estar en varios grupos.
  • El número de unos dentro de un grupo debe ser cualquier potencia de 2.
  • Cuanto más grande sea un grupo, la simplificación de la función será mejor.
  • Los grupos pueden ser de diferentes tamaños, siempre potencia de 2.
  • Al hacer la simplificación agrupando unos se dice que estamos obteniendo la suma de productos la utilizada en los ejemplos, y si escogemos los ceros se convierte en un producto de sumas.

En el mapa de Karnaugh se muestran todos los posibles valores de la salida para cada combinación posible de las entradas, en cada celda de la tabla se representa un valor binario de las entradas.

Las celdas de un mapa de Karnaugh se disponen de manera que entre dos celdas adyacentes sólo cambie el valor de una única variable. Cada celda es adyacente a las que están situadas inmediatamente junto a cualquiera de sus cuatro lados excluyendo las diagonales.

Ejercicios de simplificación de funciones por Karnaugh

Al operar la siguiente función suma de productos del ejercicio:

f (A,B,C) = ⅀(0,1,2,3) = (ABC) + (ABC) + (ABC) + (ABC)

 

Tabla de la verdad de la función 
#ABCf(A,B,C)
00001
10011
20101
30111
41000
51010
61100
71110

Pasaremos cada término a una tabla de la verdad, asignando una letra según el peso de cada bit que interviene en la función, en este caso A B C, y si el termino nos aparece en la función le ponemos un uno sino un cero.

Una vez creada la tabla de la verdad, rellenamos las celdas del mapa de Karnaugh.

 

Mapa de Karnaugh 3 variables

Mapa de Karnaugh 3 variables

 

En el mapa de Karnaugh hacemos la agrupación de unos contiguos, consiguiendo un solo grupo, quedando la función simplificada o minimizada como:

f = A

En este ejemplo, las variables B y C no importan los valores que tomen, la función solo se cumple cuando la variable A esta negada.

Otros ejemplos de cómo usar la simplificación por Karnaugh.



Feb 182018

 

Para la resolución de funciones del álgebra de Boole que contengan 6 variables podemos usar el método de Karnaugh, hay que puntualizar que a partir de este número de variables es muy fácil cometer algún error en su resolución ya que hay que superponer varias tablas entre si para realizar la simplificación.

En el siguiente ejemplo podemos ver todo el proceso.

Si tenemos la siguiente función suma de productos que queremos simplificar:

f (A,B,C,D,E,F) = ⅀(0, 2, 5, 7, 8, 10, 13, 15, 16, 18, 24, 26, 32, 33, 34, 37, 39, 40, 41, 42, 45, 47, 48, 49, 50, 53, 56, 57, 58, 61) = (ABCDEF) + (ABCDEF) + (ABCDEF) +7 (ABCDEF) + (ABCDEF) + (ABCDEF) + (ABCDEF)  + (ABCDEF)  + (ABCDEF) + (ABCDEF) + (ABCDE) + (ABCDEF) + (ABCDEF) + (ABCDEF) + (ABCDDEF)  + (ABCDEF) + (ABCDEF) + (ABCDEF) + (ABCDEF) + (ABCDEF) + (ABCDEF) + (ABCDEF) + (ABCDEF)  + (ABCDEF)  + (ABCDEF) + (ABCDEF) + (ABCDEF) + (ABCDEF) + (ABCDEF) + (ABCDEF)

El bit de menor peso es la variable F y el de mayor la A lo podríamos haber hecho al revés, es cuestión de adoptar un convenio en el que estemos cómodos con las letras escogidas y su orden.

La simplificación es parecida como con 5 variables, sin embargo, a la hora de encontrar casillas adyacentes lo que tenemos que hacer es visualizar cada uno de estos cuadrados uno sobre otro y descubrir las celdas adyacentes, viendo el ejemplo se entiende mejor.

En el mapa de Karnaugh cada intersección de una fila y columna crea una celda única que le asignamos un número según el peso de las variables en la que este situada, en este ejemplo esta coloreado en rojo.

 

Valores numéricos para las casillas del mapa de Karnaugh de 6 variables

Valores numéricos para las casillas del mapa de Karnaugh de 6 variables

 

Rellenamos las celdas del mapa con los términos de la función a simplificar.

Ejemplo de Karnaugh 6 variables

Ejemplo de Karnaugh 6 variables

 

Para simplificar cogemos grupos de 8 ó 16, y vamos eliminando las variables que cambian. Si tuviéramos posiciones que nos es indiferente que esten a 1 ó 0 intentaremos aprovecharlas para formar grupos mas grandes y así simplificar mas la función.

La función f (A,B,C,D,E,F) = ⅀(0, 2, 5, 7, 8, 10, 13, 15, 16, 18, 24, 26, 32, 33, 34, 37, 39, 40, 41, 42, 45, 47, 48, 49, 50, 53, 56, 57, 58, 61) quedará simplificada como:

 

f = DF + BDF + AEF

 

Tabla de la verdad de la función 
#ABCDEFf(A,B,C,D,E,F)
00000001
10000010
20000101
30000110
40001000
50001011
60001100
70001111
80010001
90010010
100010101
110010110
120011000
130011011
140011100
150011111
160100001
170100010
180100101
190100110
200101000
210101010
220101100
230101110
240110001
250110010
260110101
270110110
280111000
290111010
300111100
310111110
321000001
331000011
341000101
351000110
361001000
371001011
381001100
391001111
401010001
411010011
421010101
431010110
441011000
451011011
461011100
471011110
481100001
491100011
501100101
511100110
521101000
531101011
541101100
551101111
561110001
571110011
581110101
591110110
601111000
611111011
621111100
631111110

 

Otros ejemplos de simplificación por Karnaugh: