Nov 082016

 

El metodo de Karnaugh es un sistema visual utilizado para la simplificación de funciones algebraicas Booleanas. Es también conocido como diagrama de Veitch o tabla de Karnaugh y consiste en una representación bidimensional de la tabla de la verdad de la función a simplificar.

Cuando agrupamos los “1” hay que tener en cuenta:

  • Debemos utilizar todos los unos del mapa.
  • Hay que crear el menor número de grupos incluyendo todos los unos.
  • Los unos pueden estar en varios grupos.
  • El número de unos dentro de un grupo debe ser cualquier potencia de 2.
  • Cuanto más grande sea un grupo, la simplificación de la función será mejor.
  • Los grupos pueden ser de diferentes tamaños, siempre potencia de 2.
  • Al hacer la simplificación agrupando unos se dice que estamos obteniendo la suma de productos la utilizada en los ejemplos, y si escogemos los ceros se convierte en un producto de sumas.

En el mapa de Karnaugh se muestran todos los posibles valores de la salida para cada combinación posible de las entradas, en cada celda de la tabla se representa un valor binario de las entradas.

Mapas de Karnaugh

Mapas de Karnaugh

 

El número de celdas de un mapa de Karnaugh es igual al número de posibles combinaciones de los valores de las variables de entrada. Por ejemplo, un mapa de Karnaugh de 3 variables tendría 23 = 8 celdas y uno de 4 variables tendría 24 = 16 celdas.

Utilizar mas de 5 variables resulta mas compleja la simplificación hallando los grupos de unos, y puede derivar en errores, hay programas que nos pueden ayudar para hacer esta simplificación a este nivel.

El orden dado a las variables por ejemplo en la tabla de 4 variables no tiene porque ser el mismo, podemos darle el orden que queramos y utilizar las letras que nos gusten mas.

Las celdas de un mapa de Karnaugh se disponen de manera que entre dos celdas adyacentes sólo cambie el valor de una única variable. Cada celda es adyacente a las que están situadas inmediatamente junto a cualquiera de sus cuatro lados excluyendo las diagonales.

Además el mapa lo podemos imaginar como grabado en un cilindro horizontalmente y verticalmente, las celdas de la fila inferior son adyacentes a la superior y las celdas de la columna izquierda son adyacentes a la derecha y viceversa.

Una vez tengamos resuelto el mapa de Karnaugh podemos implementar la función minimizada con puertas AND y OR para llevarla a la práctica.

 

Ejercicios de simplificación de funciones por Karnaugh

1.- Si tenemos la siguiente función suma de productos:

f (A,B,C) = ⅀(0,3,5,7) = (ABC) + (ABC) + (ABC) + (ABC)

Tabla de la verdad de la función 
#ABCf(A,B,C)
00001
10010
20100
30111
41000
51011
61100
71111

Pasaremos cada término a una tabla de la verdad, asignando una letra según el peso de cada bit que interviene en la función, en este caso A B C, y si el termino nos aparece en la función le ponemos un uno sino un cero.

Una vez creada la tabla de la verdad, rellenamos las celdas del mapa de Karnaugh.

 

Mapa de Karnaugh

Mapa de Karnaugh

 

 

En el mapa de Karnaugh hacemos la agrupación de unos contiguos, consiguiendo dos grupos y un uno suelto, quedando la función simplificada o minimizada como:

f = AC + BC +ABC

 

 

 

 


2.- Si tenemos la siguiente función suma de productos:

f (A,B,C) = ⅀(0,2,4,6) = (ABC) + ( ABC) + (ABC) + (ABC)

Tabla de la verdad de la función 
#ABCf(A,B,C)
00001
10010
20101
30110
41001
51010
61101
71110

Pasaremos cada término a una tabla de la verdad, asignando una letra según el peso de cada bit que interviene en la función, en este caso A B C, y si el termino nos aparece en la función le ponemos un uno sino un cero.

Una vez creada la tabla de la verdad, rellenamos las celdas del mapa de Karnaugh.

 

Mapa de Karnaugh

Mapa de Karnaugh

En el mapa de Karnaugh hacemos la agrupación de unos contiguos, consiguiendo un grupo, quedando la función simplificada o minimizada como:

f = C

Si nos fijamos en la tabla de la verdad vemos que cada vez que C vale 0 la función es 1 validando la función minimizada.

 

 

 

 


3.- Si tenemos la siguiente función suma de productos:

f (A,B,C) = ⅀(0,4,5,6,7) = (ABC) + (ABC) + (ABC) + (ABC) + (ABC)

Tabla de la verdad de la función 
#ABCf(A,B,C)
00001
10010
20100
30110
41001
51011
61101
71111

Pasaremos cada término a una tabla de la verdad, asignando una letra según el peso de cada bit que interviene en la función, en este caso A B C, y si el termino nos aparece en la función le ponemos un uno sino un cero.

Una vez creada la tabla de la verdad, rellenamos las celdas del mapa de Karnaugh.

 

Mapa de Karnaugh

Mapa de Karnaugh

En el mapa de Karnaugh hacemos la agrupación de unos contiguos, consiguiendo un grupo de cuatro unos y otro de dos, quedando la función simplificada o minimizada como:

f = A + BC

Mirando la tabla de la verdad podemos volver a corroborar los resultados obtenidos.

 

 

 

 


4.- Si tenemos la siguiente función suma de productos:

f (A,B,C,D) = ⅀(0,1,2,3,5,7,8,9,10,11,14) = (ABCD) + (ABCD) + (ABCD) + (ABCD) + (ABCD) + (ABCD) + (ABCD) + (ABCD) + (ABCD) + (ABCD) + (ABCD)

Tabla de la verdad de la función 
#ABCDf(A,B,C,D)
000001
100011
200101
300111
401000
501011
601100
701111
810001
910011
1010101
1110111
1211000
1311010
1411101
1511110

Pasaremos cada término a una tabla de la verdad, asignando una letra según el peso de cada bit que interviene en la función, en este caso A B C, y si el termino nos aparece en la función le ponemos un uno sino un cero.

Una vez creada la tabla de la verdad, rellenamos las celdas del mapa de Karnaugh.

 

Mapa de Karnaugh 4 variables

Mapa de Karnaugh 4 variables

En el mapa de Karnaugh hacemos la agrupación de unos contiguos, consiguiendo un grupo de ocho unos, otro de cuatro y otro de dos, quedando la función simplificada o minimizada como:

f = B  + A+ACD

Con 4 variables el proceso se complica un poco mas, pero si miramos la tabla de la verdad veremos que la simplificación es correcta.

 

 


 

Para 5 variables duplicaríamos la tabla y así sucesivamente para mas variables, quedando superpuestas una encima de la otra, los grupos se forman buscando la adyacencia entre todas las tablas.

Ejemplo de resolución de Karnaugh con 5 variables.

En la web hay programas comerciales como Gorgeous Karnaugh que permite simplificar funciones de hasta 16 variables generando los mapas de Karnaugh y los diagramas lógicos, un buen programa que se puede alquilar o comprar.



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